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프린스턴 해석학 시리즈 Ⅰ

조화해석학의 대가, STEIN 교수가 알려주는

푸리에 해석학의 정수

과학과 공학의 다양한 현상을 주기로 표현하는 학문, 푸리에 해석학!

푸리에 해석학이 어떤 방식으로 다른 수학 분야와 유기적인 관계를 맺는지 탐미하라.

STEIN 교수가 엄선한, 서로 조밀하게 연결된 주제를 따라가다 보면

어느새 푸리에 해석학을 전체적으로 조망할 수 있다.

여기, 가장 완벽한 푸리에 해석학을 소개한다.

지은이 머리말

미리보기

감수자 머리말

서론

1장 푸리에 해석학의 기원

1 현의 진동

1.1 파동 방정식 유도

1.2 파동 방정식의 해

1.3 예 : 퉁긴 현

2 열 방정식

2.1 열 방정식 유도

2.2 원판에서 안정상태의 열 방정식

연습문제

심화문제

2장 푸리에 급수의 기본 성질

1 예와 문제의 명확화

1.1 주요 정의와 몇 가지 예

2 푸리에 급수의 유일성

3 합성곱

4 좋은 핵

5 체사로 합 및 아벨 합 가능성 : 푸리에 급수에 응용

5.1 체사로 평균과 체사로 합

5.2 페제르 정리

5.3 아벨 평균과 아벨 합

5.4 푸아송 핵과 단위원판에서의 디리클레 문제

연습문제

심화문제

3장 푸리에 급수의 수렴성

1 푸리에 급수의 평균제곱수렴성

1.1 벡터공간과 내적

1.2 평균제곱수렴성의 증명

2 점별수렴으로 돌아가기

2.1 국소적 결과

2.2 푸리에 급수가 발산하는 연속함수

연습문제

심화문제

4장 푸리에 급수의 응용

1 등주부등식

2 바일 등분포정리

3 연속이지만 모든 점에서 미분불가능한 함수

4 원 위에서의 열 방정식

연습문제

심화문제

5장 R에서의 푸리에 변환

1 푸리에 변환에 대한 기초 이론

1.1 실수에서 정의된 함수의 적분

1.2 푸리에 변환의 정의

1.3 슈바르츠 공간

1.4 S에서의 푸리에 변환

1.5 푸리에 역변환

1.6 프란셰렐 공식

1.7 적절히 감소하는 함수로의 확장

1.8 바이어슈트라스 근사 정리

2 편미분방정식에서의 응용

2.1 실수에서의 시간 종속 열 방정식

2.2 상반평면에서의 안정상태 열 방정식

3 푸아송 합 공식

3.1 세타함수와 제타함수

3.2 열 핵

3.3 푸아송 핵

4 하이젠베르크 불확정성 원리

연습문제

심화문제

6장 R^d에서의 푸리에 변환

1 기초 지식

1.1 대칭성

1.2 R^d에서의 적분

2 푸리에 변환의 기초 이론

3 R^d×R에서의 파동 방정식

3.1 푸리에 변환 관점에서의 해

3.2 R^3×R에서의 파동 방정식

3.3 R^2×R에서의 파동 방정식 : 강하법

4 방사형 대칭성과 베셀 함수

5 라돈 변환과 몇 가지 응용

5.1 R^2에서의 엑스선 변환

5.2 R^3에서의 라돈 변환

5.3 평면파에 대한 참고사항

연습문제

심화문제

7장 유한 푸리에 해석

1 Z(N)에서의 푸리에 해석

1.1 군 Z(N)

1.2 Z(N)에서의 푸리에 역변환 정리와 프란셰렐 항등식

1.3 고속 푸리에 변환

2 유한 아벨 군에서의 푸리에 해석

2.1 아벨 군

2.2 지표

2.3 직교관계

2.4 완전집합으로서의 지표

2.5 푸리에 역변환 공식과 프란셰렐 공식

연습문제

심화문제

8장 디리클레 정리

1 기초 정수론

1.1 산술의 기본 정리

1.2 소수의 무한성

2 디리클레 정리

2.1 푸리에 해석, 디리클레 지표와 정리의 축소

2.2 디리클레 L–함수

3 정리의 증명

3.1 로그함수

3.2 L–함수

3.3 L–함수와 자명하지 않은 디리클레 지표

연습문제

심화문제

부록 적분

1 리만 적분

1.1 기본 성질

1.2 측도가 0인 집합과 적분가능함수의 불연속점

2 중적분

2.1 R^d에서의 리만 적분

2.2 반복적분

2.3 치환적분법

2.4 구면좌표

3 R^d에서의 이상적분

3.1 적절히 감소하는 함수의 적분

3.2 반복적분

3.3 구면좌표

장별 참고사항

참고문헌

기호 목록

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